Question

已知函数f（x）=|x-a|+

1

x

（x＞0），若f（x）≥

1

2

恒成立，则是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）≥

1

2

恒成立，变为x|x-a|＞

1

2

x-1根据函数函数的图象求a的取值范围．

解答：解：由f（x）≥

1

2

恒成立，变为x|x-a|＞

1

2

x-1，令g（x）=x|x-a|，r（x）=

1

2

x-1
1°当a≤0时，f（x）=x-a+

1

x

≥2-a＞

1

2

（当且仅当x=1是等号成立）
∴a≤0时，f（x）≥

1

2

恒成立；
2°当a＞0时，f（x）≥

1

2

恒成立，变为x|x-a|＞

1

2

x-1，令g（x）=x|x-a|，r（x）=

1

2

x-1
作出两个函数的图象，如图

1

2

a-1≤0，可得0＜a≤2
综上知a≤2
故答案为a≤2

以下是本题的一个错误解法，因为工具选择的不当，造成答案错误，在时看时很合理的作法，不一定正确，本题的错误主要在分类不清，有兴趣的同学可以看一下，汲取经验教训
函数f(x)=|x-a|+

1

x

 （x＞0）
1°当a≤0时，f（x）=x-a+

1

x

≥2-a＞

1

2

（当且仅当x=1是等号成立）
∴a≤0时，f（x）≥

1

2

恒成立；
2°当a＞0时，f（x）=

x-a+ 1 x x≥a a-x+ 1 x x＜a

①x≥a时，f（x）≥

1

2

恒成立，
∴2-a≥

1

2

（当且仅当x=1是等号成立）
解得0＜a≤

3

2

②x＜a时，f（x）=a-x+

1

x

在区间（0，+∞）上单调递减，
函数f（x）的值域为R，“f（x）≥

1

2

恒成立”不成立．
综上a的取值范围是 a≤

3

2

．
故答案为a≤

3

2

．

点评：考查应用函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的思想方法；不等式恒成立问题转化为函数函数的图象解决，体现了转化的思想方法，属中档题．