Question

已知等差数列{a_n}满足：公差d＞0，a_n•a_n+1=4n²-1（n=1，2，3…）
①求通项公式a_n；　
②求证：．

Answer 1

解：①依题意可设a_n=a₁+（n-1）d（1分）
则a_n•a_n+1=[a₁+（n-1）d]•[a₁+nd]=a₁（a₁-d）+（2a₁-d）dn+d²n²=4n²-1
对n=1，2，3，…都成立 （3分）
，
∴又d＞0．解得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1．（6分）
②∵=（9分）
∴+++…+
=．（12分）
分析：①设a_n=a₁+（n-1）d，则a_n•a_n+1=[a₁+（n-1）d]•[a₁+nd]=a₁（a₁-d）+（2a₁-d）dn+d²n²=4n²-1，所以，由此能求出a_n=2n-1．
②由=，用裂项求和法能够证明．
点评：本题考查通项公式的求法和求证．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用裂项求和公式进行证明．