Question

7．（1）若复数z满足（1+i）z=2-i，求|z+i|．
（2）已知函数f（x）=x⁴+x²-1，g（x）=ax³+x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
设F（x）=f（x）+g（x），若对于任意的a∈[-2，2]，函数y=F（x）在区间[-1，1]上的值恒为负数，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则及模的计算公式即可得出；
（2）F（x）=f（x）+g（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1，由函数y=F（x）在区间[-1，1]上的值恒为负数，可得x⁴+ax³+2x²+b-1＜0，即b＜-x⁴-ax³-2x²+1=h（x），x∈[-1，1]．利用导数研究函数h（x）的单调性与极值最值即可得出．

解答 解：（1）∵复数z满足（1+i）z=2-i，∴z=$\frac{2-i}{1+i}$=$\frac{（2-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$\frac{1-3i}{2}$，∴z+i=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$．
∴|z+i|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1，
∵函数y=F（x）在区间[-1，1]上的值恒为负数，
∴x⁴+ax³+2x²+b-1＜0，即b＜-x⁴-ax³-2x²+1=h（x），x∈[-1，1]．
h′（x）=-4x³-3ax²-4x=-4x$（{x}^{2}+\frac{3}{4}ax+1）$，
对于一元二次方程：${x}^{2}+\frac{3}{4}ax+1$=0，∵a∈[-2，2]，
∴△=$\frac{9}{16}{a}^{2}$-4＜0．
∴?x∈[-1，1]，${x}^{2}+\frac{3}{4}ax+1$＞0恒成立．
令h′（x）＞0，解得-1≤x＜0，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得0＜x≤1，此时函数h（x）单调递减．
又h（-1）=a-2，h（1）=-a-2，
∴h（x）_min={a-2，-a-2}_min，
∴b＜{a-2，-a-2}_min，a∈[-2，2]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、复数的运算法则及模的计算公式，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题．