Question

（本题满分16分）如图，已知椭圆：的长轴长为4，离心率，为坐标原点，过的直线与轴垂直．是椭圆上异于、的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连结延长交直线于点，为的中点．

（1）求椭圆的方程；w ww.ks 5u.co m

（2）证明点在以为直径的圆上；

（3）试判断直线与圆的位置关系．

    

Answer 1

 解：（1）由题设可得，解得，所以 所以 椭圆的方程为．

（2）设，则．

因为 ，所以 ．所以 ．所以 点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．

（3）设，则，且．

又，所以 直线的方程为．

令，得．又，为的中点，所以 ．

所以 ，．

所以

．

所以 ．所以 直线与圆相切．