Question

以下命题中正确的个数为（ ）
①若a²+b²=8，则ab的最大值为4；
②若a＞0，b＞0，且2a+b=4，则ab的最大值为4；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，则+的最小值为1；
④若a＞0，则的最小值为1．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：根据ab≤推断①正确；根据2a+b≥2求得ab的最大值，判断②不正确；利用+=展开后根据均值不等式求得+的最小值判断出③正确；根据≤判断出的最大值为1，推断④不正确．
解答：解：由①知，a²+b²=8，
∴ab≤=4成立（当且仅当a=b=2或a=b=-2时，取等号），故①正确．
由②知4=2a+b≥2，
∴≤2，∴ab≤2，
故②不正确．由③可知，a+b=4，∴+=1．∴+==+++≥+2=
+=1（当且仅当a=b=2时取等号），故③正确．
由④≤=1（当且仅当a=1时取等号），
故的最大值是1，故④不正确．
故正确的有①③．
故选B
点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题的应用．要特别留意基本不等式中等号成立的条件．