Question

已知数列{a_n} 是公差为d（d≠0）的等差数列，S_n为其前n项和．
（1）若a₂，a₃，a₆依次成等比数列，求其公比q；
（2）若

OPn

=(n，

Sn

n

)(n∈N*)，求证：对任意的m，n∈N*，向量

PmPn

与向量

b

=(2，d)共线；
（3）若a₁=1，d=

1

2

，

OQn

=(

an

n

，

Sn

n2

)(n∈N*)，问是否存在一个半径最小的圆，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．

Answer 1

分析：（1）利用a₂，a₃，a₆依次成等比数列，结合数列{a_n} 是公差为d（d≠0）的等差数列求出公差，然后求出公比．
（2）通过S_n为其前n项和，求出

OPn

=(n，

Sn

n

)(n∈N*)推出

pmpn

= 

(n-m)

2

b

，说明向量

PmPn

与向量

b

=(2，d)共线；
（3）求出a_n，Sn．利用向量计算|

OQn

| 2≤2，推出|

OQn

|≤

2

，说明存在半径最小的圆，最小半径为

2

，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．

解答：解：（1）因为a₂，a₃，a₆成等比数列，所以a₃²=a₂-a₆，（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+5d）．
d=-2a₁，q=

a3

a2

=3．
（2）因为

pmpn

=

opn

-

opm

=(n，

Sn

n

) -(m，

Sm

m

)=(n-m，

Sn

n

-

Sm

m

)，而

Sn

n

-

Sm

m

=[a₁+

(n-1)d

2

]-[a₁+

(m-1)d

2

]=

(n-m)d

2

，
所以

pmpn

= (n-m，

(n-m)d

2

)=

(n-m)

2

(2，d)=

(n-m)

2

b

，所以向量

PmPn

与向量

b

=(2，d)共线．
（3）因为a₁=1，d=

1

2

，所以a_n=1+（n-1）

1

2

=

1

2

n+

1

2

，Sn=

n2

4

+

3

4

n．
|

OQn|

 2= (

an

n

) 2+(

Sn

n2

) 2=

[ 1 2 (n+1)]2

n2

+

1 16 (n2+3n )2

n4

=

1

16

(

13

n2

+

14

n

+5)
=

13

16

(

1

n

+

7

13

) 2+

1

13

．
因为n≥1，所以0＜

1

n

≤1．∴

13

16

(

1

n

+

7

13

)2+

1

13

≤2，当n=1时取等号．
所以|

OQn

| 2≤2，即|

OQn

|≤

2

所以存在半径最小的圆，最小半径为

2

，使得对任意的n∈N*，点Q_n都在这个圆内或圆周上．

点评：此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式，以及等差数列的确定方法．要求学生熟练掌握等差及等比数列的通项公式，以及二次函数的最值的应用．