Question

（2013•徐州三模）矩阵与变换：已知a，b∈R，若矩阵M=

-1 a b 3

所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求M^-1．

Answer 1

分析：首先分析题目已知M=

-1 a b 3

所对应的变换T_M把直线L：2x-y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM¹=E，求得M的逆矩阵即可．

解答：解：对于直线l上任意一点（x，y），在矩阵M对应的变换作用下变换成点（x'，y'），
则

-1 a b 3

x y

=

-x+ay bx+3y

=

x′ y′

，
因为2x'-y'=3，所以2（-x+ay）-（bx+3y）=3，…（4分）
所以

-2-b=2 2a-3=-1

解得

a=1 b=-4 .

所以M=

-1 1 -4 3

，…（7分）
所以M-1=

3 -1 4 -1

．…（10分）

点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．