Question

已知f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，所以令f′（x）＞0，解得a＜

3

2

(x-

1

x

)，求出 t(x)=

3

2

(x-

1

x

)的最小值得到a的取值范围．
（2）由f'（3）=0，得a=4，从而有f（x）在（1，3）上为减函数，在（3，4）上为增函数，∴x=3时f（x）有极小值，从而确定最小值和最大值．

解答：解：（1）由题知，f'（x）=3x²-2ax-3，令f'（x）＞0（x≥2），得a＜

3

2

(x-

1

x

)．
记t(x)=

3

2

(x-

1

x

)，当x≥2时，t（x）是增函数，∴t(x)min=

3

2

×(2-

1

2

)=

9

4

，∴a＜

9

4

，又a=

9

4

时，f′(x)=3x2-

9

2

x-3=3(x-

3

4

)2-

75

16

在[2，+∞）上恒大于等于0，∴a=

9

4

也符合题意，∴a≤

9

4

．
（2）由题意，得f'（3）=0，即27-6a-3=0，∴a=4，∴f（x）=x³-4x²-3x，f'（x）=3x²-8x-3．
令f'（x）=0，得x1=-

1

3

，x2=3，
又∵x∈[1，4]，∴x=-

1

3

舍，故x=3，
当x∈（1，3），f'（x）＜0，∴f（x）在（1，3）上为减函数；
当x∈（3，4），f'（x）＞0，∴f（x）在（3，4）上为增函数，∴x=3时f（x）有极小值．
于是，当x∈[1，4]时，f（x）_min=f（3）=-18，
而f（1）=-6，f（4）=-12，∴f（x）_max=f（1）=-6．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．