Question

已知⊙C₁：x²+（y+2）²=1，⊙C₂：(x+

3

)2+(y-1)2=1；坐标平面内的点P满足：存在过点P的无穷多对夹角为60°的直线l₁和l₂，它们分别与⊙C₁和⊙C₂相交，且l₁被⊙C₁截得的弦长和l₂被⊙C₂截得的弦长相等．请你写出所有符合条件的点P的坐标：

（

3

，1）；（-2

3

，-2）

．

Answer 1

分析：由题意得到：C₁坐标为（0，-2），C₂坐标为（-

3

，1），半径都为1，设P（m，n），设直线l₁方程为：y-n=k（x-m），则直线l₂方程为：y-n=

-k- 3

3 k-1

（x-m），由此能写出所有符合条件的点P的坐标．

解答：解：由题意得到：C₁坐标为（0，-2），C₂坐标为（-

3

，1），半径都为1，
设P（m，n），设直线l₁方程为：y-n=k（x-m），
则直线l₂方程为：y-n=

-k- 3

3 k-1

（x-m），
∵⊙C₁和⊙C₂的半径相等，
及直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离相等，
即

|-km+2+n|

1+k2

=

| -k- 3 3 k-1 (- 3 -m)+n-1|

1+( -k- 3 3 k-1 )2

，
整理得：(

3

，1)，(-2

3

，-2)．
故答案为：(

3

，1)，(-2

3

，-2)．

点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．