Question

【题目】如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）存在；

【解析】

（1）取中点，可证明且，从而证明，进而可证明平面；（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，利用向量法可求出二面角的余弦值；（3）假设存在点，利用向量法求与平面所成角的正弦值为时点的坐标，判断是否在线段上，进而求出的长.

（1）证明：取中点，连接，

，即，

所以为平行四边形，平面，平面，因此平面.

（2）解：因为，为的中点，所以，又因为侧面底面且交线为，所以平面，

分别以为轴建立空间直角坐标系.

，

平面的法向量，

，，设平面的法向量，

则令，得.

所以，因此二面角的余弦值为.

（3）解：设，，，

平面的法向量，

所以，

解得或（舍），所以存在，

所以.