题目内容

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（ $数学公式$ ）= $数学公式$ f（x）且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（ $数学公式$ ）等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x），f（x）?f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；反复利用f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x）?f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ①；再令x= $\text{[math]}$ ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，同理反复利用f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x）?f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ②；又0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 从而可求得f（ $\text{[math]}$ ）的值．
解答：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x），
∴当x=1时，f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（1）= $\text{[math]}$ ；
令x= $\text{[math]}$ ，由f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x）得：
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
同理可求：f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
f（ $\text{[math]}$ ）=）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ①
再令x= $\text{[math]}$ ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴f（ $\text{[math]}$ ）+f（1- $\text{[math]}$ ）=1，解得f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
令x= $\text{[math]}$ ，同理反复利用f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x），
可得f（ $\text{[math]}$ ）=）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
…
f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ②
由①②可得：，有f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵0≤x₁＜x₂≤1时f（x₁）≤f（x₂），而0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜1
所以有f（ $\text{[math]}$ ）≥f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
f（ $\text{[math]}$ ）≤f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
故f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，两次赋值后都反复应用f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（x），分别得到关系式①②，从而使问题解决，实际上是两边夹定理的应用，属于难题．