Question

已知点N（

5

2

，0），以N为圆心的圆与直线l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）设l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E（4，1），试判断直线l与圆N的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：圆N与直线y=x相切，可得圆的半径为

5

2 2

，进而求出圆的方程．
（II）由题可得：设A点的坐标为（a，a），结合题意可得B点的坐标为（8-a，2-a），所以a=5，即可求出直线l的方程，再根据圆心到直线的距离可得直线与圆的位置关系．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：点N（

5

2

，0）为圆心，并且圆N与直线y=x相切，
所以圆N的半径为

5

2 2

，
所以圆N的方程(x-

5

2

)2+y2=

25

8

．  
（II）由题意可得：设A点的坐标为（a，a），
因为AB中点为E（4，1），所以B点的坐标为（8-a，2-a），
又因为点B 在直线y=-x上，
所以a=5，
所以A点的坐标为（5，5），
又因为AB中点为E（4，1），
所以直线l的斜率为4，
所以l的方程为4x-y-15=0，
圆心N到直线l的距离

5 17

17

＜

5 2

4

，所以直线l与圆N相交．

点评：本题主要考查圆的标准方程，以及圆与直线的位置关系的判断．