Question

如图所示，三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=2，且，OA、OB、OC两两垂直（每两条都垂直）．
（1）求三棱锥O-ABC的体积；
（2）求三棱锥O-ABC的高（O点到平面ABC的距离）；
（3）求三棱锥O-ABC外接球的表面积（三棱锥O-ABC四个顶点都在球面上）．

Answer 1

分析：（1）转化三棱锥O-ABC的体积的为三棱锥A-OBC的体积，直接求三棱锥O-ABC的体积；
（2）利用体积公式直接求三棱锥O-ABC的高（O点到平面ABC的距离）；
（3）扩展三棱锥为长方体，求出三棱锥O-ABC外接球的半径，然后求解其表面积（三棱锥O-ABC四个顶点都在球面上）．

解答：解（1）VO-ABC=VA-OBC=

1

3

S△OBC•OA=

4

3

…4′
（2）设三棱锥O-ABC高为h，
由已知可得AB=BC=CA=2

2

…5′
∴S△ABC=2

3

…7′
由VO-ABC=

1

3

S△ABC•h=

4

3

得h=

2

3

3

∴三棱锥O-ABC的高为

2

3

3

…9′
（3）以OA、OB、OC的棱将三棱锥O-ABC补为一个长方体如图所示，
则三棱锥O-ABC的外接球就是该长方体的外接球，…10′
外接球直径2R=2

3

，即R=

3

…13′
球的表面积为S =4πR2=12π…14′

点评：本题考查几何体的体积的应用，球的内接多面体的应用，考查空间想象能力以及计算能力．