Question

（2013•房山区二模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点(

π

6

，

1

2

)．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)f(x-

π

4

)，求函数g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的周期公式求出ω，通过函数图象经过的点直接求解φ的值；
（Ⅱ）化简g(x)=f(x)f(x-

π

4

)的表达式，通过正弦函数的单调增区间，直接求函数g（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，
所以T=

2π

ω

=π，ω=2，
图象过点(

π

6

，

1

2

)．所以

1

2

=sin(2×

π

6

+φ)，0＜φ＜π，所以φ=

π

2

．
（Ⅱ）因为g(x)=f(x)f(x-

π

4

)
=sin（2x+

π

2

）sin（2x-

π

2

+

π

2

）
=cos2xsin2x
=

1

2

sin4x，
由2kπ-

π

2

≤4x≤2kπ+

π

2

，k∈Z
得

kπ

2

-

π

8

≤x≤

kπ

2

+

π

8

，
所以函数的单调增区间为[

kπ

2

-

π

8

，

kπ

2

+

π

8

]  k∈Z

点评：本题考查三角函数的化简，函数的周期的求法，二倍角的正弦函数，函数的单调性的应用，考查计算能力．