题目内容

当x∈（1，2）时，不等式x-1＜log_ax恒成立，求a的取值范围．

解：∵x-1＜log_ax在（1，2）上恒成立
∴log_ax-x+1＞0在（1，2）上恒成立
令f（x）=log_ax-x+1
f′（x）= $\text{[math]}$ -1
令f′（x）= $\text{[math]}$ -1=0解得x= $\text{[math]}$
当0＜a＜1时，f′（x）＜0
则函数f（x）在（1，2）上单调递减，则log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此时a无解
当1＜a≤ $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ≥2，f′（x）＞0
则函数f（x）在（1，2）上单调递增，则log_a1-1+1≥0，此时1＜a≤ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ＜a＜e时1＜ $\text{[math]}$ ＜2，
则函数f（x）在（1， $\text{[math]}$ ）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，2）上单调递减，log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此时 $\text{[math]}$ ＜a≤2
当a≥e时0＜ $\text{[math]}$ ≤1，f′（x）＜0
则函数f（x）在（1，2）上单调递减，则log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此时a无解
综上所述：1＜a≤2
分析：作差构造新函数f（x）=log_ax-x+1，利用导数研究函数最值证明不等式恒成立，从而求出a的取值范围．
点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．