Question

已知函数f(x)=xm-

4

x

，且f（4）=3
（1）求m的值；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

（1）∵f（4）=3，∴4m-

4

4

=3，∴m=1．（2分）
（2）因为f(x)=x-

4

x

，定义域为{x|x≠0}，关于原点成对称区间．（3分）
又f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)，（5分）
所以f（x）是奇函数．（6分）
（3）设x₁＞x₂＞0，则f(x1)-f(x2)=x1-

4

x1

-(x2-

4

x2

)=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)（9分）
因为x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，1+

4

x1x2

＞0，（11分）
所以f（x₁）＞f（x₂），因此f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．