Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=2an+k2n（k是与n无关的常数且k≠0），若数列{a_n}是单调递减数列，则k的取值范围为

(-∞，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：由an+1=2an+k2n（k是与n无关的常数且k≠0），变形为

an+1

2n+1

=

an

2n

+

k

2

，可得数列{

an

2n

}是等差数列，即可得到a_n．由于数列{a_n}是单调递减数列，因此a_n+1-a_n＜0对于?n∈N^*都成立?k＜(

-1

n+1

)min．求出即可．

解答：解：∵an+1=2an+k2n（k是与n无关的常数且k≠0），∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

k

2

，
∴数列{

an

2n

}是等差数列，首项为

a1

21

=

1

2

，公差为

k

2

，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)•

k

2

，∴an=2n-1[1+(n-1)k]．
∵数列{a_n}是单调递减数列，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ（1+nk）-2^n-1[1+（n-1）k]=2^n-1[1+（n+1）k]＜0对于?n∈N^*都成立．
∴k＜

-1

n+1

对于?n∈N^*都成立?k＜(

-1

n+1

)min．
令f（n）=-

1

n+1

，则f（n）是关于n的单调递增数列，
∴f(n)min=-

1

2

．
∴k＜-

1

2

．
∴k的取值范围为(-∞，-

1

2

)．
故答案为(-∞，-

1

2

)．

点评：本题考查了通过变形转化为等差数列的数列的通项公式的求法、恒成立问题的等价转化、数列的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．