Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a+b}{2c}$．
（1）求角C；
（2）若c=2，求AB边上的中线长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a+b}{2c}$，利用正弦定理可得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{sinA+sinB}{2sinC}$．化简可得$\sqrt{3}$sinC=1+cosC，$sin（C-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，即可得出．
（2）设中线CD=x，∠ADC=α，则∠CDB=π-α，在△ACD与△CDB中，分别利用余弦定理可得：a²+b²=2+2x²．另一方面，在△ABC中，利用余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，进而得出．

解答 解：（1）∵sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a+b}{2c}$，
由正弦定理可得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{sinA+sinB}{2sinC}$．
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+cosAsinC=sinA+sin（A+C），
化为$\sqrt{3}$sinC=1+cosC，
化为$sin（C-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴$C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）设中线CD=x，∠ADC=α，则∠CDB=π-α，
在△ACD与△CDB中，分别利用余弦定理可得：
b²=1+x²-2xcosα，
a²=1+x²-2xcos（π-α），
相加可得：a²+b²=2+2x²．
另一方面，在△ABC中，利用余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
化为a²+b²=4+ab≤$4+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，化为4＜a²+b²≤8
∴4＜2+2x²≤8．
解得1＜x≤$\sqrt{3}$．
∴AB边上的中线长的取值范围是$（1，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．