Question

已知函数f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得x＞

2-a a

，由f'（x）＜0解得x＜

2-a a

，
∴f（x）的单调减区间为(0，

2-a a

)，单调增区间为(

2-a a

，+∞)．
（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在x=

2-a a

处取得最小值f(

2-a a

)＜f（0）=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．