题目内容
11．设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$．（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小；
（3）求$\frac{|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$的值．
分析 （1）运用向量的平方即为模的平方和向量的数量积的定义和夹角范围，即可求得夹角；
（2）运用向量的夹角公式，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到夹角；
（3）运用向量模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．
解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，且|3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
即有（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）2=7，
即9${\overrightarrow{a}}^{2}$-12$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=7，
9-12×1×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+4=7，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$；
（2）由（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$，
则cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于0≤＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
即有$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{6}$；
（3）|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|2=9${\overrightarrow{a}}^{2}$+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=9+6×$\frac{1}{2}$+1=13，
即有|3$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，
|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|2=9${\overrightarrow{a}}^{2}$-6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=9-6×$\frac{1}{2}$+1=7，
即有|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，
故$\frac{|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}{|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{91}}{7}$．
点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于基础题．
优加精卷系列答案
如图，AB是圆O的直径，PA直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
