Question

如图，圆O的方程为x²+y²=2，直线l是椭圆

x2

2

+y2=1的左准线，A、B是该椭圆的左、右焦点，点P为直线l上的一个动点，直线AQ⊥OP交圆O于点Q．
（Ⅰ）若点P的纵坐标为4，求此时点Q的坐标，并说明此时直线PQ与圆O的位置关系；
（Ⅱ）求当∠APB取得最大值时P点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得A（-1，0），B（1，0），直线l的方程为x=-2，直线AQ的方程为x-2y+1=0．由

x-2y+1=0 x2+y2=2

，解得Q点的坐标为 （-

7

5

，-

1

5

）或（1，1）．由此能推导出PQ与圆O相切．
（Ⅱ）设P点在x轴上方，设P（-2，m）（m＞0）．设准线l与x轴交于点Q，记 BPQ=α，APQ=β，所以tan∠APB=tan（α-β）=

3 m - 1 m

1+ 3 m • 1 m

≤

2

2 m• 3 m

=

3

3

．由此能求出当∠APB取得最大值时P点的坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题意得A（-1，0），B（1，0），直线l的方程为x=-2，
∴P（-2，4），
∴kOP=

4

0-2

=-2，
∵AQ⊥OP，
∴kAQ=

1

2

．
∴直线AQ的方程为y=

1

2

(x+1)，即x-2y+1=0．
由

x-2y+1=0 x2+y2=2

，消去x并整理得5y²-4y-1=0．
解得y=1，或y=-

1

5

．
当y=1时x=1，当 y=-

1

5

时，xx=-

7

5

．
∴Q点的坐标为 （-

7

5

，-

1

5

）或（1，1）．
当Q为（1，1）时，直线PQ的方程x+y-2=0．
圆心O到直线的距离为

2

2

=

2

，∴PQ与圆O相切．
同理可得，当Q为(-

7

5

，-

1

5

) 时，PQ也与圆O相切．
（Ⅱ）不妨设P点在x轴上方，设P（-2，m）（m＞0）．
设准线l与x轴交于点Q，记 BPQ=α，APQ=β，
∴tan∠APB=tan（α-β）
=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

3 m - 1 m

1+ 3 m • 1 m

=

2

m+ 3 m

≤

2

2 m• 3 m

=

3

3

．
当且仅当m=

3

时取得等号．
显然 APB为锐角，故 APB的最大值为30°，
此时P点的坐标（-2，±

3

）．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．