Question

10．利用秦九韶算法判断方程x⁵+x³+x²-1=0在[0，2]上是否存在实根．

Answer 1

分析 令f（x）=x⁵+x³+x²-1，先用导数法判断出函数在[0，2]上为增函数，再由秦九韶算法结合函数零点存在定理，可得结论．

解答 解：令f（x）=x⁵+x³+x²-1，
则当x∈[0，2]时，f′（x）=5x⁴+3x²+2x≥0恒成立，
又由f（0）=-1＜0，
利用秦九韶算法可得：f（x）=x⁵+x³+x²-1=（（（（x+0）x+1）x+1）x+0）x-1，
当x=2时，
v₀=1，
v₁=2，
v₂=5，
v₃=11，
v₄=22，
v₅=43，
即f（2）＜0，
故函数f（x）=x⁵+x³+x²-1在[0，2]上有且只有一个零点，
即x⁵+x³+x²-1=0在[0，2]上有且只有一个实根．

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的零点存在判定定理，秦九韶算法，是函数与算法的综合应用，难度中档．