题目内容
已知函数f(x)=2
sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，
]，求函数f（x）的最大值和最小值．
| 3 |
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，
| π |
| 3 |
分析：（1）用二倍角的正、余弦公式将f（x）表达式进行降次，再用辅助角公式合并，可得f（x）═2sin（2x+
），最后可由三角函数的周期公式求得f（x）的最小正周期；
（2）令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），并解之可得函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
](k∈Z)；
（3）因为0≤x≤
，所以
≤2x+
≤
，结合正弦函数的图象与性质，可得当x=0或
时，函数有最小值为1；当x=
时，函数有最大值为2．
| π |
| 6 |
（2）令-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（3）因为0≤x≤
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）f(x)=2
sinxcosx+2cos2x-1=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
）
∴f（x）的最小正周期为T=
=π；
（2）令-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），可得-
+kπ≤x≤
+kπ
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
](k∈Z)
（3）若x∈[0，
]，即0≤x≤
∴
≤2x+
≤
，
可得当2x+
=
或
时，即x=0或
时，函数有最小值为1；
当2x+
=
时，即x=
时，函数有最大值为2．
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的最小正周期为T=
| 2π |
| 2 |
（2）令-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（3）若x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
可得当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：本题将一个函数化简整理为y=Asin（ωx+φ）的形式，并求它的单调性、周期性和最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的最值等知识点，属于中档题．
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