Question

已知函数f(x)=

x

1-ax

+ln(1-x)．
（Ⅰ）当a=-1时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈（-∞，0]时f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=

x

1+x

+ln(1-x)，f′(x)=

1

(1+x)2

+

1

x-1

=

x(x+3)

(x-1)(x+1)2

，由此能推导出函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=ln（1-x）+x，f′(x)=

x

x-1

，函数f（x）在（-∞，0]增函数，不合题意；当a≠0，f′(x)=

1

(1-ax)2

+

1

x-1

=

a2x(x- 2a-1 a2 )

(x-1)(1-ax)2

，由此进行分类讨论，能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，f(x)=

x

1+x

+ln(1-x)，
其定义域为{x|x＜1，且x≠-1}．
∴f′(x)=

1

(1+x)2

+

1

x-1

=

x(x+3)

(x-1)(x+1)2

，…（2分）
∴函数f（x）在（-∞，-3），（0，1）为减函数，
在（-3，-1），（-1，0）为增函数．…（4分）
（Ⅱ）解：（1）当a=0时，f（x）=ln（1-x）+x，
f′(x)=

x

x-1

，
∵x∈（-∞，0]，f'（x）≥0，函数f（x）在（-∞，0]增函数，
故f（x）≤f（0）=0，不合题意，所以a≠0．…（6分）
（2）若a≠0时，f′(x)=

1

(1-ax)2

+

1

x-1

=

a2x(x- 2a-1 a2 )

(x-1)(1-ax)2

，
①当a≥

1

2

时，

2a-1

a2

≥0，x∈（-∞，0]时，f'（x）≤0，
故f（x）在（-∞，0]为减函数，从而f（x）≥f（0）=0恒成立．…（8分）
②当0＜a＜

1

2

时，

2a-1

a2

＜0，
函数f（x）在(-∞，

2a-1

a2

)上单调递减，在(

2a-1

a2

，0)上单调递增，
则在(

2a-1

a2

，0)上存在x₀，使f（x₀）＜f（0）=0，故不符合题意．
③当a＜0时，∵

2a-1

a2

-

1

a

=

a-1

a2

＜0，∴

2a-1

a2

＜

1

a

．
函数f（x）在(-∞，

2a-1

a2

)上单调递减，在(

2a-1

a2

，

1

a

)、(

1

a

，0)上单调递增，
则在(

2a-1

a2

，

1

a

)、(

1

a

，0)上存在x₀，使f（x₀）＜f（0）=0，故不符合题意．
综上，a的取值范围是{a|a≥

1

2

}．…（12分）

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查使得不等式恒成立的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用，合理地运用分类讨论思想解题．