Question

（2012•黄浦区二模）已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=4，AP=5．
（1）求二面角P-BC-A的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2）把△PAB（及其内部）绕PA所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积V．

Answer 1

分析：（1）取BC中点D，连接AD、PD，可得∠PDA为二面角P-BC-A的平面角，在直角△PAD中，利用正切函数可求二面角P-BC-A的大小；
（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5，故可求圆锥的体积．

解答：解：（1）取BC中点D，连接AD、PD；

在等腰三角形PBC、ABC中，PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA为二面角P-BC-A的平面角．       （2分）
在等腰直角△ABC中，由AB=AC=4及AB⊥AC，得AD=2

2

．
由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD．
在直角△PAD中，tan∠PDA=

PA

AD

=

5 2

4

．                            （6分）
故二面角P-BC-A的大小为arctan

5 2

4

．                           （8分）
（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．
∴该圆锥的体积V=

1

3

×5×π×42=

80π

3

．                              （12分）

点评：本题考查面面角，考查几何体体积的计算，正确确定面面角是解题的关键．