Question

（2013•鹰潭一模）已知数列{a_n}的前n项和为2S_n=3a_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）若b_n=log

1

3

（S_n+1），求数列{b_na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式，
（2）利用错位相减法，即可求数列{b_na_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1
综上所述，an=2×3n-1…（5分）
（2）因为bn=log

1

3

(Sn+1)=log

1

3

(3n)=-n，
所以b_na_n=-2n×3^n-1Tn=-2×1-4×31-6×32-…-2n×3n-1…（7分）
所以3T_n=-2×3¹-4×3²-…-2（n-1）×3^n-1-2n×3ⁿ…（8分）
相减得[-2Tn=-2×1-2×31-2×32-…-2×3n-1+2n×3n=-2×（1+3¹+3²+…+3^n-1）+2n×3ⁿ…（10分）
所以Tn=(1+31+32+…+3n-1)-n×3n=

1-3n

1-3

-n×3n=-

(2n-1)×3n+1

2

…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．