Question

【题目】设函数，其中为正实数．

（Ⅰ）若是函数的极值点，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若在上无最小值，且在上是单调增函数，求的取值范围，并由此判断曲线与曲线在交点个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的增区间为，减区间为；

（Ⅱ）的取值范围为，曲线与曲线在交点个数为0．

【解析】

试题（Ⅰ）由得 ，而，所以函数的增区间为，减区间为；（Ⅱ）求出的导函数，讨论的范围，由条件得时；由的导函数在上恒成立，即 ，所以的取值范围为；此时即，令，由函数单调性知的极小值为，故两曲线没有公共点．

试题解析：（Ⅰ）由得

的定义域为：

函数的增区间为，减区间为

（Ⅱ）由

若则在上有最小值

当时，在单调递增无最小值

∵在上是单调增函数，∴在上恒成立

∴

综上所述的取值范围为

此时即，令，

则在单减，在单增，

极小值为．故两曲线没有公共点