Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且3a_n+1-8a_n+1a_n+5a_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用已知条件通过n=1，2，3即可求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；猜想数列{a_n}的通项公式，利用用数学归纳法的证明步骤在证明即可．

解答：解：（Ⅰ）由3a_n+1-8a_n+1a_n+5a_n=2得，an+1=

5an-2

8an-3

因为a₁=1，所以a2=

3

5

，…（2分）
同理a3=

5

9

，a4=

7

13

…（4分）
（Ⅱ）猜想an=

2n-1

4n-3

…（6分）
证明：①当n=1时，猜想成立．…（7分）
②设当n=k时（n∈N^*）时，猜想成立，即ak=

2k-1

4k-3

，…（8分）
则当n=k+1时，有ak+1=

5ak-2

8ak-3

=

5• 2k-1 4k-3 -2

8• 2k-1 4k-3 -3

…（10分）
=

2k+1

4k+1

=

2(k+1)-1

4(k+1)-3

，…（12分）
所以当n=k+1时猜想也成立
综合①②，猜想对任何n∈N^*都成立      …（14分）

点评：本题考查归纳推理，数学归纳法的证明步骤的应用，考查计算能力与逻辑推理能力．