Question

（2010•温州一模）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f(n+1)=

f(n)-1 f(n) 2f(n)，f(n)≤1

，f(n)＞1，若对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有 （　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：欲求出对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立时a在（0，1]内的可能值，只须考虑n=1时，使得方程f（4）=f（1）的a在（0，1]内的可能值即可．对a进行分类讨论，结合分段函数的解析式列出方程求解即可．

解答：解：∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①当0＜a≤

1

4

时，0＜2a≤

1

2

，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②当

1

4

＜a≤

1

2

时，

1

2

＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=

f(3)-1

f(3)

=

4a-1

4a

，
此时f（4）=f（1）?

4a-1

4a

=a?a=

1

2

；
③当

1

2

＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）=

f(2)-1

f(2)

=

2a-1

2a

≤

1

2

，
∴f（4）=2f（3）=

2a-1

a

，
此时f（4）=f（1）?

2a-1

a

=a?a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个． 
故选B．

点评：本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．