Question

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128，
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n
（3）设T_n=

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

，求T_n．

Answer 1

（1）设公比为q，依题意

a1q=2 a1q4 =128

解得a₁=

1

2

，q=4
∴a_n=

1

2

×4^n-1=2^2n-3   （n∈N^*）
（2）b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-3）=2n-3
∴数列{b_n}为首项为-1，公差为2的等差数列
∴S_n=

n(-1+2n-3)

2

=n（n-2）
（3）∵

Sn

n

=

n(n-2)

n

=n-2
∴T_n=

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

=（1-2）+（2-2）+（3-2）+…+（n-2）=

n(-1+n-2)

2

=

n(n-3)

2