Question

某工地备有直径为R的圆柱形木料(足够长),若所需的是横断面为矩形的承重木梁,且已知木梁的承重强度(p)与梁宽及梁高的平方的乘积成正比,问如何截可使截得的木梁的承重强度最大?

Answer 1

思路分析：木梁的承重强度是关于梁宽或梁高函数关系式，设出变量列出函数关系式，利用导数求出最值.

解：设木梁的横断面的宽为x,高为y,则x²+y²=R².由已知,设p=kxy²(k为常数),因此,p=kx(R²-x²)=kR²x-kx³(0＜x＜R).

∵p′=kR²-3kx²,

令p′=0,得x=R.

由于函数在区间(0,R)内只有一个极值点,因此,当x=R,即木梁横断面宽为R,高为R时,木梁的承重强度最大.