Question

已知函数f （x）=

1

x

-2．
（1）求f （x）的定义域；
（2）用定义法证明：函数f （x）=

1

x

-2在 （0，+∞） 上是减函数；
（3）求函数f （x）=

1

x

-2在区间[

1

2

，10]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）令函数的分母非0，求出x的范围，写出集合形式即为定义域．
（2）在区间上任意取两个自变量，求出两个函数值的差，将差变形，判断出其符号，利用单调性定义得证．
（3）利用（2）的单调性，判断出f（x）在[

1

2

，10]单调性，求出最值．

解答：解：（1）要使函数有意义，需满足x≠0
∴f （x）的定义域为{x|x≠0}
（2）设x₁＞x₂＞0则
f(x1)-f(x2)=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁•x₂＞0，x₂-x₁＜0
∴f(x1)-f(x2)=

x2-x1

x1•x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞） 上是减函数
（3）∵f（x）在（0，+∞） 上是减函数
∴f（x）在[

1

2

，10] 上是减函数
∴当x=

1

2

时，f（x）有最大值f(

1

2

)=0
∴函数f （x）[

1

2

，10]最大值为0

点评：利用单调性的定义解决函数的单调性问题时，一定将两个函数值的差变形到容易判断出差的符号为至．