题目内容

（1）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数满足=1，求证：
≥﹣n．
（1）解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）．
于是．
当在区间是减函数，
当在区间是增函数．
所以时取得最小值，，
（2）用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，由（1）知命题成立．
（ii）假定当n=k时命题成立，即若正数，则．
当n=k+1时，若正数，
令．
则为正数，且．
由归纳假定知．
+lnx）≥x（﹣k）+xlnx，①同理，由可得
≥（1﹣x）（﹣k）+（1﹣x）n（1﹣x）．
②综合①、②两式
≥[x+（1﹣x）]（﹣k）+xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）≥﹣（k+1）．
即当n=k+1时命题也成立．根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立．
练习册系列答案
相关题目
（2012•虹口区二模）已知：函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=
g(x)
x
．
（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；
（2）若不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；
（3）如果关于x的方程f（|2x-1|）+t•（
4
|2x-1|
-3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．
记函数f（x）=f1（x），f（f（x））=f2（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈S，f2（x）=x，则称f（x）是集合M的元素，例如f（x）=-x+1，对任意x∈R，f2（x）=f（f（x））=-（-x+1）+1=x，故f（x）=-x+1∈M．
（1）设函数f（x）=log2（1-2x），判断f（x）是否是M的元素；
（2）f（x）=
axx+b
∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．
定义运算a*b为：a*b=
a(a≤b)
b(a＞b)
，例如1*2=1，2*1=1，设函数f（x）=sinx*cosx，则函数f（x）的最小正周期为
2π
2π
，使f（x）＞0成立的集合为
(2kπ，2kπ+
π
2
)
(2kπ，2kπ+
π
2
)
．
已知f(x)=
4•2010x+2
2010x+1
+xcosx(-1≤x≤1)，设函数f（x）的最大值是M，最小值是N，则（　　）
（1）设函数f（x）=（3x2+x+1）（2x+3），求f′（x），f′（-1）；
（2）设函数f（x）=x3-2x2+x+5，若f′（x°）=0，求x°的值．
（3）设函数f（x）=（2x-a）n，求f′（x）．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网