Question

已知函数f（x）=2^x+2^-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由a=-1，f（x）=4，可得2^x-2^-x=4，设2^x=t，
则有t-t^-1=4，即t²-4t-1=0，解得t=2±

5

（2分）
当t=2+

5

时，有2x=2+

5

，可得x=log2(2+

5

)．
当t=2-

5

时，有2x=2-

5

，此方程无解．
故所求x的值为log2(2+

5

)．（4分）
（2）设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＞x₂，
则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)
=(2x1-2x2)+

2x2-2x1

2x1+x2

a
=

2x1-2x2

2x1+x2

(2x1+x2-a)（7分）
由x₁＞x₂，可得2x1＞2x2，即2x1-2x2＞0
由x₁，x₂∈[1，+∞），x₁＞x₂，可得x₁+x₂＞2，
故2x1+x2＞4＞0，
又a≤4，故2x1+x2＞a，即2x1+x2-a＞0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）因为函数f（x）=2^x+2^-xa，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]²?2^2x+2^-2x＞2^2x+2a+2^-2xa²?2^-2x（a²-a）+2a＜0（12分）
设t=2^-2x，由x∈[0，1]，可得t∈[

1

4

，1]，
由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]²，
可得存在t∈[

1

4

，1]，使得（a²-a）t+2a＜0，（14分）
令g（t）=（a²-a）t+2a＜0，
故有g(

1

4

)=

1

4

(a2-a)+2a＜0或g（1）=（a²-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．（16分）