Question

8．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，且0＜α＜π．求sin2α，cos2α，tan2α的值．

Answer 1

分析 把所给的等式平方利用二倍角公式求得sin2α的值，再结合2α∈（π，$\frac{3π}{2}$）以及同角三角函数的基本关系求得cos2α、tan2α的值．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，且0＜α＜π，平方可得1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$∈（-1，-$\frac{π}{4}$），
∴α为钝角，且α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），∴2α∈（π，$\frac{3π}{2}$），∴cos2α=-$\sqrt{1{-sin}^{2}2α}$=-$\frac{\sqrt{17}}{9}$，
∴tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=$\frac{8\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．