Question

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+

x3

3

-x2-2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）=0解得a，再验证是否满足取得极值的条件即可．
（2）由y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可得f′（x）=

x[2ax2+(1-4a)x-(2+4a2)]

2ax+1

≥0，在[3，+∞）上恒成立．对a分类讨论即可得出．

解答：解：（1）f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a=

x[2ax2+(1-4a)x-(2+4a2)]

2ax+1

．
∵x=2为f（x）的极值点，∴f′（2）=0，即

2a

4a+1

-2a=0，解得a=0．
又当a=0时，f′（x）=x（x-2），可知：x=2为f（x）的极值点成立．
（2）∵y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=

x[2ax2+(1-4a)x-(2+4a2)]

2ax+1

≥0，在[3，+∞）上恒成立．
①当a=0时，f′（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知：必须2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，
∴2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在区间[3，+∞）上恒成立．
令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为x=1-

1

4a

．
∵a＞0，1-

1

4a

＜1，从而g（x）≥0在区间[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可．
由g（3）=-4a²+6a+1≥0，解得

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

．
∵a＞0，∴0＜a≤

3+ 13

4

．综上所述，a的取值范围为(0，

3+ 13

4

]．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．