Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n}的通项公式a_n．（2）若数列{a_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N*）且b₁=3，求{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接利用S₅=45，S₆=60得出关于首项和公差的两个等式，解方程即可求出首项和公差，进而求出其通项公式；
（2）先利用叠加法求出数列{b_n}的通项公式，再对数列{

1

bn

}的通项进行裂项，采用裂项相消法求和即可．

解答：解：（1）由S₅=45，S₆=60⇒

6a1+ 6×(6-1) 2 d=60 5a1+ 5(5-1)d 2 =45

⇒

a1=5 d=2

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=5+2（n-1）=2n+3
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n
∴b₂-b₁=a₁
b₃-b₂=a₂
b₄-b₃=a_3
…
b_n-b_n-1=a_n-1
叠加bn-b1=

(a1+an-1)(n-1)

2

=

(5+2n+1)(n-1)

2

∴b_n=（n+3）（n-1）+3=n²+2n
∴

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

[

1

n

-

1

n+2

]
∴Tn=

1

2

[

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

++

1

n

-

1

n+2

]
=

1

2

[1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

]
=

1

2

 (

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．

点评：本题主要考查等差数列求和公式的应用以及叠加法和裂项相消求和法的应用，考查方程思想在解决数列问题中的应用以及计算能力．