Question

设f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
（1）讨论函数g(x)=af(x)-

1

2

x2（a≥0）的单调性．
（2）求证：(1+

1

1

)(1+

1

2

)(1+

1

3

)…(1+

1

n

)＜e

n+2

2

（n∈N^*）

Answer 1

（1）g′(x)=-

x2+x-a

x+1

，令x²+x-a=0，
∵△=1+4a＞0，∴g′（x）=0有两根，设为x₁与x₂且x₁＜x₂，
x1=

-1- 1+4a

2

，x2=

-1+ 1+4a

2

，
当a≥0时x₁≤-1，x₂≥0，
∴当a≥0时g（x）在（-1，x₂）上递增，在（x₂，+∞）递减．
（2）原命题等价于证明ln（1+

1

1

）+ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）＜

n+2

2

，
由（1）知2ln(1+x)-

1

2

x2≤2ln2-

1

2

，∴ln(x+1)≤

1

4

x2+(ln2-

1

4

)，
令x=

1

n

，得ln（1+

1

n

）≤

1

4

•

1

n2

+ln2-

1

4

，
所以ln（1+

1

1

）+ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）≤

1

4

（1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

）+（ln2-

1

4

）n
＜

1

4

（1+

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)n

）+（ln2-

1

4

）n=

1

4

（2-

1

n

）+（ln2-

1

4

）n＜

1

2

+（ln2-

1

4

）n，
只需证ln2-

1

4

＜

1

2

即可，即ln2＜

3

4

，
∵ln2=ln

4	24

=ln

4	16

，

3

4

=lne

3

4

=ln

4	e3

=ln

4	2.73

=ln

4	19.68

，
∴ln2＜

3

4

，∴

1

2

+(ln2-

1

4

)n＜

n+1

2

＜

n+2

2

，
∴ln（1+

1

1

）+ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）＜

n+2

2

，
∴(1+

1

1

)(1+

1

2

)(1+

1

3

)…(1+

1

n

)＜e

n+2

2

．