题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点F到过顶点A（-a，0）、B（0，b）的直线的距离等于
7
7
b，则椭圆的离心率为（　　）
分析：依题意，可求得直线AB的方程，利用点到直线间的距离公式可得到关于a，b，c的关系式，结合a2=b2+c2与e=
c
a
即可求得该椭圆的离心率．
解答：解：∵直线AB的方程为
x
-a
+
y
b
=1，即bx-ay+ab=0（a＞b＞0），
∵左焦点F（-c，0）到AB的距离d等于
7
7
b，
即d=
|-bc+ab|
a2+b2
=
7
7
b，
∴
|a-c|
a2+b2
=
7
7
，
∴
(a-c)2
a2+b2
=
1
7
，又b2=a2-c2，
∴8c2-14ac+5a2=0，又e=
c
a
，
两端同除以a2得：8e2-14e+5=0，
解得：e=
1
2
或e=
5
4
（舍去）．
∴椭圆的离心率为
1
2
．
故选A．
点评：本题考查椭圆的简单性质与点到直线间的距离公式，求得
|a-c|
a2+b2
=
7
7
是关键，考查转化思想与分析运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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