Question

一个人在建筑物的正西A点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A点向南走到B点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A、B间的距离是a，证明：建筑物的高是

asinαsinβ

sin(α+β)sin(α-β)

．

Answer 1

分析：设出建筑物的高度，求出AC，BC，利用勾股定理结合和差的正弦公式即可得到结论．

解答：证明：设建筑物的高为h米，则AC=

h

tanα

=

hcosα

sinα

，BC=

hcosβ

sinβ

在Rt△ABC中，a²+AC²=BC²，∴a2=(

hcosβ

sinβ

)2-(

hcosα

sinα

)2=

h2[(sinαcosβ)2-(cosαsinβ)2]

(sinαsinβ)2

=

h2[sin(α+β)sin(α-β)]

(sinαsinβ)2

∴h=

asinαsinβ

sin(α+β)sin(α-β)

．

点评：本题考查解三角形的运用，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．