Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（2）求证：AF∥平面BDE；
（3）求四面体B-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）证明平面BCD⊥平面ABC，只需证明DC⊥面ABC，利用面ABC⊥面ACDE，CD⊥AC，即可证得；
（2）取BD的中点P，连接EP、FP，则可证四边形AFPE是平行四边形，所以AF∥EP，即可证得AF∥面BDE；
（3）证明BA⊥面ACDE，可得BA就是四面体B-CDE的高，且BA=2，可求S_△CDE=3-1=2，即可求得四面体B-CDE的体积．

解答：（1）证明：∵面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE=AC，CD⊥AC，
∴DC⊥面ABC，…（2分）
又∵DC?面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABC．…（4分）
（2）解：取BD的中点P，连接EP、FP，则FP∥

1

2

DC，FP=

1

2

DC
又∵EA∥

1

2

DC，EA=

1

2

DC
∴EA∥FP，EA=FP…（6分）
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，∴AF∥面BDE．…（8分）
（3）解：∵BA⊥AC，面ABC∩面ACDE=AC，∴BA⊥面ACDE．
∴BA就是四面体B-CDE的高，且BA=2．…（10分）
∵DC=AC=2AE=2，AE∥DC，
∴S梯形ACDE=

1

2

(1+2)×2=3，S△ACE=

1

2

×1×2=1，
∴S_△CDE=3-1=2，∴VE-CDE=

1

3

×2×2=

4

3

．…（12分）

点评：本题考查面面垂直，线面平行，考查四面体B-CDE的体积，解题的关键是掌握面面垂直，线面平行的判定方法，属于中档题．