Question

如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为

1. A.
   22
2. B.
   20
3. C.
   18
4. D.
   16

Answer 1

B
分析：先以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，可得半圆方程为（x-12）²+y²=100，根据条件得出M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上，联立半圆方程和抛物线方程结合根与系数的关系，利用抛物线的定义即可求得答案．
解答：解：以AT的中点O为坐标原点，AT的中垂线为y轴，
可得半圆方程为（x-12）²+y²=100
又，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
M，N在以A为焦点，PT为准线的抛物线上；以AT的垂直平分线为y轴，TA方向为x轴建立坐标系，则有
抛物线方程为y²=8x（y≥0），联立半圆方程和抛物线方程，
消去y得：x²-16x+44=0
∴x₁+x₂=16，
|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x₁+x₂+4=20．
故选B．
点评：本小题主要考查抛物线的定义、圆的方程、圆与圆锥曲线的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．