题目内容

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为 $数学公式$ ，若函数g（x）= $数学公式$ x³+x²[f′（x）+ $数学公式$ ]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

解　（1）f′（x）= $\text{[math]}$ （x＞0），
①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，
∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；
②当a＜0时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
③当a=0时，f（x）=-3，f（x）不是单调函数，无单调区间．
（2）由题意知，f′（4）=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得a=-2，则f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x³+（ $\text{[math]}$ +2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=-2＜0，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ．
故m的取值范围是（- $\text{[math]}$ ，-3）．
分析：（1）求导数f′（x），利用导数与函数单调性的关系分情况讨论即可．
（2）由切线斜率为 $\text{[math]}$ ，可求出a值，进而求出f（x）、f′（x），因为g（x）在区间（1，3）上不单调，所以g′（x）改变符号，从而得到m所满足的条件．
点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，利用导数解决问题的能力，注意数形结合思想的应用．