Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（　　）

A．

a＞b＞c

B．

c＞a＞b

C．

c＞b＞a

D．

a＞c＞b

Answer 1

考点：

函数奇偶性的性质；简单复合函数的导数；函数的单调性与导数的关系．

专题：

综合题；压轴题．

分析：

由已知式子（x）+xf′（x），可以联想到：（uv）′=u′v+uv′，从而可设h（x）=xf（x），

有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．

解答：

解：构造函数h（x）=xf（x），

由函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数可得h（x）=xf（x）是R上的偶函数，

又当x∈（﹣∞，0）时h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，

所以函数h（x）在x∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递减函数；

所以h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递增函数．

又因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，从而h（0）=0

因为=﹣2，所以f（）=f（﹣2）=﹣f（2），

由0＜log_π3＜1＜3^0.3＜3^0.5＜2

所以h（log_π3）＜h（3^0.3）＜h（2）=f（），即：b＜a＜c

故选B．

点评：

本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．

本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．