题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（Ⅰ）若函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 $数学公式$ ，且它的图象过（0，1）点，求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的函数y=f（x）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（x）的图象在 $数学公式$ 上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （3分）
由题意得 $\text{[math]}$ ，所以ω=2所以 $\text{[math]}$
又因为y=f（x）的图象过点（0，1），
∴ $\text{[math]}$
又∵0＜φ＜π
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到 $\text{[math]}$ 的图象，
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 $\text{[math]}$ 的图象．
即 $\text{[math]}$ （9分）
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴g（x）的单调递增区间为 $\text{[math]}$ ．（12分）
（Ⅲ）若f（x）的图象在 $\text{[math]}$ 上至少出现一个最高点或
最低点，则 $\text{[math]}$ ，即ω＞100π，又ω为正整数，
∴ω_min=315．（15分）
分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ ，求出函数的周期，得到ω，且它的图象过（0，1）点，求出?，即可求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）利用将（Ⅰ）中的函数y=f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求出函数的解析式，利用正弦函数的单调性，求函数y=g（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）f（x）的图象在 $\text{[math]}$ 上至少出现一个最高点或
最低点，则 $\text{[math]}$ ，即可求出ω的最小值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数的单调性的应用，考查函数的基本性质，求出ω的最小值的条件，是解题的关键．