Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：Sn=2an-2n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}的满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求证：Tn≥

1

2

．

Answer 1

（1）当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n①，则当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）②，
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），∴

an+2

an-1+2

=2，
当n=1时，S₁=2a₁-2，则a₁=2．
∴{a_n+2}是以a₁+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴an+2=4•2n-1，∴an=2n+1-2；
（2）证明：bn=log2(an+2)=log22n+1=n+1，∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

③，

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

…④，
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

n+3

2n+1

．
当n≥2时，Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}为递增数列，∴Tn≥T1=

1

2

．