题目内容
从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分):[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100)，8.(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60，90)分的学生比例；
(4)估计成绩在85分以下的学生比例.
思路分析：本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法.
成绩在某一范围内的学生比例即为学生成绩在该范围内的频率，(3)(4)求相应频率即可.
解：(1)频率分布表如下：
分组 | 频数 | 频率 | 累计频率 |
［40,50) | 2 | 0.04 | 0.04 |
［50,60) | 3 | 0.06 | 0.1 |
［60,70) | 10 | 0.2 | 0.3 |
［70,80) | 15 | 0.3 | 0.6 |
［80,90) | 12 | 0.24 | 0.84 |
［90,100) | 8 | 0.16 | 1.00 |
合计 | 50 | 1.00 |
|
(2)频率分布直方图如图2-2-6所示.
图2-2-6
(3)成绩在[60，90)分的学生比例即为成绩在[60，90)的频率.
(4)成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率，设相应频率为b.
由
，故b=0.72.
估计成绩在85分以下的学生约占72%.
方法归纳
(1)本例中，估计实际上利用了线性插值，即将累计频率与成绩的关系近似地看作是过点(80，0.6)与(90，0.9)的直线段，而(85，b)为其上的一点，利用斜率公式即可求出b.如果不用累计频率也可直接利用频率分布表插值，本质相同，即设成绩在［80，85)上的频率为m，则
，即m=0.12.
从而成绩在85分以下的学生比例为0.04+0.06+0.2+0.3+0.12=72%.
(2)列频率分布表和画出频率分布直方图的最终目的是通过样本分布估计总体分布.在估计时，只需要求出相应的样本分布中的有关数据即可推知总体分布的情况.但需要注意的是：由于频率分布表和频率分布直方图是由样本决定的，因此在实际操作中，它们可能随着样本的改变而改变，但当抽样方法比较科学时，具有较强的代表性，所选取的分组数是科学的，它们就能客观地反映总体分布的规律，呈现出统计规律，因而我们可以通过样本分布来估计总体分布.
