Question

如下图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点.

(1)求的长;

（2）求cos〈,〉的值;

（3）求证:A₁B⊥C₁M.

Answer 1

解析：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O—xyz.

（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1）,

∴||=

（2）依题意得A₁（1，0，2），C（0，0，0），B₁（0，1，2），∴=（1，-1，2），=（0，1，2），·=1×0+(-1)×1+2×2=3,

|BA₁|=,

||=,

∴cos〈,〉=.

(3)依题意得C₁(0,0,2),M(,,2),

=（，，0），=（-1，1，-2），

∴·=（-1）×+1×+(-2)×0=0.

∴⊥.

∴⊥.