题目内容

已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜ $数学公式$ ），且f（ $数学公式$ ）=-A．
（I）求φ的值；
（Ⅱ）若f（α）= $数学公式$ ，f（β+ $数学公式$ ）= $数学公式$ 且 $数学公式$ ，求cos（2α+2β- $数学公式$ ）的值．

解：（I）由题意，得f（ $\text{[math]}$ ）=-A?Asin（2× $\text{[math]}$ +φ）=-A，
∴sin（ $\text{[math]}$ +φ）=-1，
∴ $\text{[math]}$ +φ=2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z
∵|φ|＜ $\text{[math]}$ ，
∴φ=- $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由（I）可知，函数f（x）=Asin（2x- $\text{[math]}$ ），
∵f（α）= $\text{[math]}$ ∴Asin（2α- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴sin（2α- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴cos（2α- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
又f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ A，
∴Asin（2β+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴sin2β= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴cos2β= $\text{[math]}$ ，
∴cos（2α+2β- $\text{[math]}$ ）=cos（2α- $\text{[math]}$ ）cos2β-sin（2α $\text{[math]}$ ）sin2β
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）通过f（ $\text{[math]}$ ）=-A，结合|φ|＜ $\text{[math]}$ 直接求出φ的值；
（Ⅱ）利用（I）求出函数的表达式，通过f（α）= $\text{[math]}$ ，求出sin（2α- $\text{[math]}$ ），cos（2α- $\text{[math]}$ ），利用f（β+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求出sin2β，cos2β的值，然后利用两角和的余弦函数求cos[（2α- $\text{[math]}$ ）+2β]的值．
点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数的应用，注意角的范围的转化，考查计算能力．