题目内容
已知函数f(x)=x+
，x∈[2，+∞)．
（1）证明：函数f（x）在定义域[2，+∞）上是单调递增函数；
（2）解关于实数m的不等式f(
)≤f(4)．
| 4 |
| x |
（1）证明：函数f（x）在定义域[2，+∞）上是单调递增函数；
（2）解关于实数m的不等式f(
| 1 |
| m-1 |
分析：（1）先设2≤x1＜x2，然后利用作差法：f（x1）-f（x2）=x1+
-x2-
，变形定号，从而判断f（x1）与f（x2）的大小，根据单调性的定义即可判断
（2）由f(
)≤f(4)且f（x）在[2，+∞）上单调递增可得2≤
≤4，解不等式可求
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
（2）由f(
| 1 |
| m-1 |
| 1 |
| m-1 |
解答：（1）证明：设2≤x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=x1+
-x2-
=（x1-x2）+
=
∵2≤x1＜x2
∴x1x2＞0，x1-x2＜0，x1x2-4＞0
∴
＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）=x+
在[2，+∞）上单调递增
（2）解：∵f(
)≤f(4)且f（x）在[2，+∞）上单调递增
∴2≤
≤4
∴
≤m-1≤
∴
≤m≤
即不等式的解集为[
，
]
则f（x1）-f（x2）=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
=（x1-x2）+
| 4(x2-x1) |
| x1x2 |
=
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵2≤x1＜x2
∴x1x2＞0，x1-x2＜0，x1x2-4＞0
∴
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）=x+
| 4 |
| x |
（2）解：∵f(
| 1 |
| m-1 |
∴2≤
| 1 |
| m-1 |
∴
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
即不等式的解集为[
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在函数的单调性的判断中的应用，函数的单调性在求解不等式中的应用
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